Unità energetiche

Spesso è utile considerare la quantità di energia raggiante $dE_{\lambda}$ in un certo intervallo di lunghezza d'onda ($\lambda,\lambda+d\lambda$) che è trasportata attraverso un elemento di area dA, in una direzione compresa entro l'angolo solido $d\Omega$ il cui asse fa un angolo $\theta$ con la normale alla superficie, in un tempo dt. Si definisce l'intensità specifica $I_{\lambda}$ come: $$I_{\lambda}=\frac{dE_{\lambda}}{(\cos \theta dA)d\lambda d\Omega dt}$$

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Si può passare da unità fotoniche ad unità energetiche nel modo seguente. Supponiamo che la superficie sia perpendicolare alla direzione da cui proviene la luce. L'energia raggiante $dE_{\lambda}$ di un flusso di fotoni di lunghezza d'onda compresa tra $\lambda$ e $\lambda+d\lambda$ si può calcolare moltiplicando il numero di fotoni che passa nell'area dA, nel tempo dt, provenienti dall'area angolare $d\Omega$ e con lunghezza d'onda nell'intervallo $\lambda$ e $\lambda+d\lambda$ per l'energia di un fotone di quella lunghezza d'onda: $$dE_{\lambda}=n_{\lambda}\frac{hc}{\lambda}dA d\lambda d\Omega dt$$

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Quindi l'energia raggiante totale di un flusso di fotoni di diverse lunghezze d'onda che viene rivelata da un rivelatore avente una sensibilità $S(\lambda)$ dipendente dalla lunghezza d'onda è:  $$dE = \left[ \int S(\lambda) n_{\lambda}(\lambda)\frac{hc}{\lambda}d\lambda\right] dA d\Omega dt$$

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L'espressione tra parentesi rappresenta l'energia raggiante totale rivelata da un'area unitaria di recettore di sensibilità $S(\lambda)$ in una unità di tempo da una unità di angolo solido e si misura in watt per metro quadrato per steradiante ($w~m^{-2}~sr^{-1}$) oppure in erg per secondo per centimetro quadrato per steradiante ($erg~s^{-1}~cm^{-2}~sr^{-1}$). Possiamo stabilire una costante di passaggio tra unità fotoniche ed unità energetiche nel modo seguente. Detta $T(\lambda)$ la curva di emissione della sorgente, definiamo la lunghezza d'onda efficace $\lambda_{eff}$ : $$\lambda_{eff}= \frac{\int \lambda T(\lambda) S(\lambda)d\lambda} {\int S(\lambda)T(\lambda)d\lambda}$$

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Possiamo assumere, in prima approssimazione, che tutti i fotoni emessi dalla sorgente abbiano lunghezza d'onda $\lambda_{eff}$, perciò se S è normalizzata ad 1 l'espressione 3.4 diventa: $$dE = \frac{hc}{\lambda_{eff}} n_{\lambda_{eff}} dA d\Omega dt$$

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Assumendo una lunghezza d'onda efficace di 5550 Åper i fotoni della banda astronomica visuale si ottiene con un semplice calcolo la seguente relazione tra unità energetiche e unità fotoniche:  $$\frac{dE}{dA_{\perp} d\Omega dt} \left[ w~m^{-2}~sr^{-1} \rig... ...3.578~10^{-15} n_{5550} \left[ ph~cm^{-2}~s^{-1}~sr^{-1} \right]$$

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