Unità fotometriche

Abbiamo visto che il risultato della misura delle grandezze precedenti è legata alla curva di sensibilità del sistema che riceve la luce ed alla curva di emissione della sorgente. Sono state definite una serie di grandezze, chiamate fotometriche, che si riferiscono ad una distribuzione dell'emissione ben definita, quella di un corpo nero alla temperatura di solidificazione del platino (2045 $\circ$K).

Le grandezze fotometriche si basano su una grandezza fondamentale definita nel Sistema Internazionale SI, la candela. Essa è definita come l'intensità luminosa (ossia il flusso per unità di angolo solido) emessa da un corpo nero di Burgess alla temperatura di solidificazione del platino (2045 $\circ$K) in direzione perpendicolare al foro di uscita, quando la sezione di un tale foro ha un area di 1/600000 m² sotto la pressione di 101325 Pa (pascal).

Il flusso luminoso $\Phi$ emesso in uno steradiante da una sorgente puntiforme isotropa che abbia in quella direzione una intensità pari ad una candela è detto lumen (lm). Perciò, l'intensità luminosa, cioè il flusso emesso nell'unità di angolo solido, $I=\frac{d\Phi}{d\Omega}$ si può misurare in candele (cd) o in lumen per steradiante ($lm~sr^{-1}$).

La luminosità è definita  come il flusso luminoso emesso nel semispazio da un'area unitaria di superficie irraggiante. Nel caso del cielo essa viene intesa come il flusso proveniente da un emisfero e che finisce entro un'area unitaria. L'unità della luminosità è il lambert (L) che equivale ad un lumen per centimetro quadrato (lm/cm² ): $$l=\frac{d\Phi}{dA}$$

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La brillanza o luminanza esprime   il flusso luminoso emesso non in tutto il semispazio ma nell'unità di angolo solido e nella direzione da esso individuata, e non più da un'area unitaria ma dalla proiezione di essa su un piano normale alla direzione della luce. Nel nostro caso esprime anche il flusso emesso da una unità di angolo solido di cielo entro un'area unitaria perpendicolare alla direzione del flusso. Se la direzione del flusso e la normale alla superficie fanno tra loro un angolo $\theta$, la brillanza è: $$b=\frac{d\Phi}{d\Omega~dA \cos \theta}$$

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La brillanza si misura in lumen al metro quadro per steradiante ($lm~m^{-2}~sr^{-1}$) cioè in candele per metro quadro ($cd~m^{-2}$). Se una superficie irraggia in modo isotropo nel semispazio oppure riceve luce in modo isotropo dal semispazio, allora ad una brillanza di x $lm~m^{-2}~sr^{-1}$ corrisponde, per la legge di Lambert, una luminosità di $\pi$ x $lm~m^{-2}$. In questo caso per ottenere la luminosità in nL è sufficiente moltiplicare la brillanza, espressa in cd/m² , per il numero $3.14~10^{5}$ e per ottenere la brillanza in cd/m² è sufficiente moltiplicare la luminosità in nL per $3.18~10^{-6}$. Ad esempio una brillanza media del cielo di $2~10^{-4} cd/m^{2}$ (Anon 1984) corrisponde ad una luminosità di 62.8 nL. Attenzione che questa corrispondenza tende a far confondere i concetti di luminosità e di brillanza. Perciò quando qualcuno scrive "luminosità di x lambert allo zenith" in realtà intende implicitamente riferirsi alla luminosità che avrebbe il cielo se la sua brillanza fosse la stessa in tutto l'emisfero ed uguale a quella allo zenith. Allo stesso modo, quando qualcuno esprime la brillanza in lambert, intende implicitamente esprimerla lumen per centimetro quadro per $\pi$ steradianti ($lm~cm^{-2}~(\pi~sr)^{-1}$) (v. ad es. Garstang 1986). L'uso di esprimere la brillanza misurata allo zenith in questo modo è giustificato dal fatto che si dà subito un idea della luminosità totale del cielo. L'autore consiglia di usare sempre, correttamente, la brillanza (o luminanza) e di esprimerla in $cd~m^{-2}$ cioè in $lm~m^{-2}~sr^{-1}$.

Un'altra quantità interessante è l'illuminamento, che si riferisce  non ad un flusso emesso come la luminosità ma ad un flusso ricevuto, perpendicolarmente, per unità di area : $$E=\frac{d\Phi}{dA}$$

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L'illuminamento si misura in lux (lx). Un lux corrisponde all'illuminamento prodotto su una superficie di un metro quadrato dal flusso di 1 lumen incidente perpendicolarmente. Quindi 1 lx = 1 lm/m² . Se la superficie illuminata diffonde tutta la luce incidente, senza assorbimenti, allora con un illuminamento di un lux essa acquista una luminosità di un lumen per metro quadro, cioè 10^-4 L (lambert) (il fattore 10^-4 è dovuto al passaggio tra m² e cm² ).

Conoscendo la curva di emissione di un corpo nero è possibile calcolare il flusso di energia corrispondente ad un certo flusso luminoso. Si trova che $1 ~lm = 1.470~10^{-3}~ w$ (v. ad es. Cook 1991). Da questa relazione si ottiene la seguente formula di passaggio: $$b \left[ cd~m^{-2} \right] = 6.803~10^{2} ~~b \left[ w~m^{-2}~sr^{-1} \right]$$

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Dalla relazione precedente, con l'espressione 3.7, si può calcolare la relazione tra lumen e fotoni al secondo per luce monocromatica a 5550 $\AA$ o per luce avente lunghezza d'onda efficace di 5550 $\AA$ (come i fotoni della banda astronomica visuale) che è $1 ~lm = 4.12~10^{15} ~ph~ s^{-1}$ (v. Garstang 1986). Con questa relazione si ottengono le seguenti formule di passaggio per la brillanza: $$b \left[ cd~m^{-2} \right] = 2.43~10^{-12}~n_{5550} \left[ ph~cm^{-2}~s^{-1}~sr^{-1} \right]$$

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$$b \left[ cd~m^{-2} \right] = 1.935~10^{-7} ~~b \left[ Ry \right]$$

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Assumendo che la brillanza del cielo sia la stessa in ogni direzione, la luminosità è: $$l \left[ nL \right] = 7.634 ~10^{-7}~n_{5550} \left[ ph~cm^{-2}~s^{-1}~sr^{-1} \right]$$

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$$l \left[ nL \right] = 6.075~10^{-2} b \left[ Ry \right]$$

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Poiché $1~sr = 4.2545 \times 10^{10}~~ arcsec^{2}$ (v. ad es. Zombeck 2nd ed. 1990), è anche: $$l \left[ cd~m^{-2} \right] = 0.103~n_{5550} \left[ ph~cm^{-2}~s^{-1}~arcsec^{-2} \right]$$

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$$l \left[ nL \right] = 3.248~10^{4}~n_{5550} \left[ ph~cm^{-2}~s^{-1}~arcsec^{-2} \right]$$

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La curva di sensibilità della banda astronomica V è leggermente diversa dalla curva di sensibilità dell'occhio e dalla curva che definisce le grandezze fotometriche, per cui, tenendo conto della sua minore larghezza, la relazione tra lumen e fotoni al secondo in banda V è leggermente diversa dalla precedente: $1 ~lm = 3.419~10^{15} ~ph~(V)~ s^{-1}$ (Garstang 1989). Da questa relazione si ottengono le seguenti formule di passaggio per la brillanza: $$b \left[ cd~m^{-2} \right] = 2.925~10^{-12}~n_{V} \left[ ph~cm^{-2}~s^{-1}~sr^{-1} \right]$$

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$$l \left[ cd~m^{-2} \right] = 0.124~n_{V} \left[ ph~cm^{-2}~s^{-1}~arcsec^{-2} \right]$$

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Assumendo, come prima, che la brillanza del cielo sia la stessa in ogni direzione, la luminosità è: $$l \left[ nL \right] = 9.184 ~10^{-7}~n_{V} \left[ ph~cm^{-2}~s^{-1}~sr^{-1} \right]$$

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$$l \left[ nL \right] = 3.907 ~10^{4}~n_{V} \left[ ph~cm^{-2}~s^{-1}~arcsec^{-2} \right]$$

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